Một cơ sở của hạt nhân của một ma trận có thể được tính nhờ phép khử Gauss.

Để làm điều này, cho một ma trận A cỡ m × n, trước hết ta xây dựng ma trận bổ sung trên hàng [ A I ] , {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right],} trong đó I là ma trận đơn vị n × n.

Tính toán dạng cột bậc thang rút gọn bằng phép khử Gauss (hay bất kỳ phương pháp phù hợp nào), ta có một ma trận [ B C ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].} Một cơ sở của hạt nhân của A bao gồm các cột khác zero của C sao cho cột tương ứng của B là một cột zero.

Thực tế, tính toán có thể ngừng lại một khi ma trận phía trên mới chỉ được đưa về dạng cột bậc thang: những tính toán còn lại chỉ nhằm đổi cơ sở của không gian vectơ sinh bởi các cột mà phần thuộc ma trận trên là zero.

Ví dụ, giả sử

A = [ 1 0 − 3 0 2 − 8 0 1 5 0 − 1 4 0 0 0 1 7 − 9 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].}

ta có

[ A I ] = [ 1 0 − 3 0 2 − 8 0 1 5 0 − 1 4 0 0 0 1 7 − 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}

Biến đổi phần trên của ma trận về dạng cột bậc thang bằng các biến đổi cột thực hiện trên toàn bộ ma trận để có

[ B C ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 − 2 8 0 1 0 − 5 1 − 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 7 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}

Ta thấy ba cột cuối cùng của B là các cột zero, vì thế, ba cột cuối cùng của C,

[ 3 − 5 1 0 0 0 ] , [ − 2 1 0 − 7 1 0 ] , [ 8 − 4 0 9 0 1 ] {\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}

là một cơ sở của hạt nhân của A.

Chứng minh rằng phương pháp này có thể tính toán ra hạt nhân: Bởi các biến đổi cột tương ứng với việc nhân các ma trận khả nghịch vào phía bên phải, nên ma trận [ A I ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]} giản ước về [ B C ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]} có nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch P {\displaystyle P} sao cho [ A I ] P = [ B C ] , {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right],} với B {\displaystyle B} ở dạng cột bậc thang. Vì vậy A P = B , {\displaystyle AP=B,} I P = C , {\displaystyle IP=C,} và A C = B . {\displaystyle AC=B.} Một vectơ cột v {\displaystyle v} thuộc hạt nhân của A {\displaystyle A} (tức là A v = 0 {\displaystyle Av=0} ) khi và chỉ khi B w = 0 , {\displaystyle Bw=0,} với w = P − 1 v = C − 1 v . {\displaystyle w=P^{-1}v=C^{-1}v.} Vì B {\displaystyle B} đang ở dạng cột bậc thang nên B w = 0 {\displaystyle Bw=0} khi và chỉ khi các phần tử khác 0 của w {\displaystyle w} tương ứng với các cột zero của B . {\displaystyle B.} Bằng việc nhân với C {\displaystyle C} , ta có thể suy rằng điều này chỉ có thể khi và chỉ khi v = C w {\displaystyle v=Cw} là tổ hợp tuyến tính của các cột tương ứng trong C . {\displaystyle C.}